Si. Toda la información almacenada dentro de tu cuenta de hosting, incluidos los emails recibidos y sus archivos adjuntos, cuentan dentro de la cuota de espacio disponible en tu cuenta de hosting.
En caso de que precises liberar espacio en tu cuenta de hosting debido a que recibiste muchos mensajes, o mensajes muy pesados, y no querés borrarlos, podés crear una cuenta de Gmail e importarlos allí, o usar algún programa de correo como Microsoft Outlook o Mozilla Thunderbird para descargarlos en tu computadora; si seguís estas opciones, tené en cuenta deshabilitar la opción de mantener los emails en el servidor.
También podés solicitar un incremento en tu plan de hosting para incrementar el espacio en disco disponible.
